Technische Universiteit Delft
Opties
door M&C
Promotie van dhr. C.C.W. Leentvaar: "Pricing multi-asset options with
sparse grids"
13 juni 2008 | 12:30 uur
plaats: Aula TU Delft
De heer Ir. C.C.W. Leentvaar | Natuurkundig ingenieur, Nederland
promotor | Prof.dr.ir. C.W. Oosterlee Fac (EWI)
Pricing multi-asset options with sparse grids
In tegenstelling tot standaard opties, zijn opties op een mandje met
aandelen gebaseerd op meerdere onderliggende aandelen. Dit fenomeen
maakt het bepalen van de optieprijs tot een grotere uitdaging. Een van
de belangrijkste problemen is de stijgende probleemdimensionaliteit.
Bij het stijgen van de dimensionaliteit, neemt de complexiteit van het
onderliggende probleem exponentieel toe, omdat het aantal onbekenden
dat opgelost dient te worden exponentieel groeit. Huidige
computersystemen kunnen niet overweg met een dergelijk grote
hoeveelheid data.
Teneinde het meerdimensionale optieprobleem op te lossen, moet er een
geavanceerde numerieke oplostechniek gevonden worden. Een van de
technieken is de zogeheten dunne roostertechniek. Deze techniek
splitst het probleem op in een substantieel aantal deelproblemen van
een lagere complexiteit, die allen hanteerbaar zijn voor een modern
computersysteem. Omdat ieder deelprobleem dat uit deze splitsing
ontstaat onafhankelijk van ieder ander deelprobleem is, leent de dunne
rooster techniek zich optimaal voor parallellisatie. Dat wil zeggen
dat in het optimale geval alle deelproblemen simultaan opgelost kunnen
worden. Echter, gezien de dimensionaliteit, kan een deelprobleem nog
steeds te groot zijn. In dat geval dient dat deelprobleem verder
geparallelliseerd te worden.
De dunne rooster methode kan niet straffeloos worden toegepast. De
beperkingen aan de toepasbaarheid van de dunne rooster methode liggen
in de begrensdheid van de gemengde afgeleiden van de oplossing van het
probleem. Omdat de eindvoorwaarde van vele optieprijsproblemen niet
differentieerbaar is, dient met deze beperking zorgvuldig te worden
omgegaan.
In de eerste oplosmethode in dit proefschrift, wordt aan de hand van
experimenten aangetoond dat zonder gebruik te maken van geavanceerde
roostertransformatietechnieken, een partiële differentiaal
vergelijking in combinatie met dunne roosters niet tot een gewenst
convergentieresultaat leidt. Indien een coördinatentransformatie wordt
toegepast, verbetert dit resultaat aanzienlijk. De
coördinatentransformatie dient er voor de niet-differentieerbaarheid
in de eindvoorwaarde langs een roosterlijn te leggen. Echter, niet
alle prijzen van opties op meerdere aandelen kunnen voldoende
nauwkeurig bepaald worden met een coördinatentransformatie. Soms is
transformatie niet nodig, zoals bij opties die gebaseerd zijn op het
best of slechtst presterend aandeel. Deze optiecontracten hebben een
eindvoorwaarde die automatisch langs een roosterlijn ligt. Omdat het
niet eenvoudig is om passende randvoorwaarden voor dit probleem te
definiëren, is voor het prijzen van deze opties gebruik gemaakt van de
tweede, alternatieve methode in het proefschrift. Deze methode is
gebaseerd op het bepalen van een meervoudige integraal die voortkomt
uit de risicovrije verwachtingswaarde van een optie. De integraal kan
zeer efficiënt doorgerekend worden met behulp van een meervoudige
discrete Fouriertransformatie.
De snelle Fourier transformatie is een efficiënt algoritme om de
discrete Fourier transformatie te berekenen. Dit algoritme is ook de
basis voor een algoritme voor het parallel uitrekenen van de
transformatie, door het probleem op te splitsen in stukken. In dit
proefschrift is een volledig communicatievrij parallel algoritme
ontwikkeld dat ervoor zorgt dat het probleem op een slimme manier
wordt gesplitst. In combinatie met de dunne roostermethode, kunnen
hier voldoende nauwkeurige resultaten worden behaald voor
hoogdimensionale problemen.
Meer informatie?
Voor inzage in proefschriften van de promovendi kunt kijken in de TU
Delft Repository op: repository.tudelft.nl. TU Delft Repository is de
digitale vindplaats van openbare publicaties van de TU Delft.
Proefschriften zullen binnen een paar weken na de desbetreffende
promotie in de Repository te vinden zijn.
Laatst gewijzigd: 27 mei 2008