070213 Oratieboekje Geurts 27-02-2007 16:21 Pagina 1
Wiskunde in het groot en in het klein
door Prof. dr. ir. Bernard J. Geurts
070213 Oratieboekje Geurts 27-02-2007 16:21 Pagina 2
070213 Oratieboekje Geurts 27-02-2007 16:21 Pagina 3
Wiskunde in het groot en in het klein
Rede uitgesproken bij het aanvaarden van
het ambt van hoogleraar
Multiscale Modeling and Simulation
aan de Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
van de Universiteit Twente
op donderdag 29 maart 2007
door:
Prof.dr.ir. Bernard J. Geurts
---
Wiskunde in het groot en in het klein
070213 Oratieboekje Geurts 27-02-2007 16:21 Pagina 4
Inleiding
Mijnheer de Rector Magnificus, Dames en Heren,
Het is niet genoeg om te weten, men moet het ook kunnen toepassen.
Ik wil deze woorden van Goethe graag gebruiken als motto voor mijn oratie.
Hierin hoop ik iets van mijn fascinatie voor mijn vakgebied aan u over te
brengen.
Wat is mijn vakgebied dan zult u zich misschien afvragen. Heel kort samen-
gevat bestudeer ik stromingen uit natuur en techniek met wiskundige model-
len. Stromingsleer is een oud en omvangrijk vakgebied. U herkent het alle-
maal; in het ruisen van de wind door de bomen of in het opspattende water
bij een duik in een zwembad. Maar ook op een veel kleinere schaal hebt u met
stromingen te maken, bijvoorbeeld als u in uw kopje koffie of thee roert, of
wanneer u uw pols krachtig voelt kloppen na een korte sprint. Dit onderzoeks-
veld heeft een sterke aantrekkingskracht voor toegepast wiskundigen;
uit wetenschappelijke nieuwsgierigheid naar complexe niet-lineaire ver-
schijnselen, maar ook door de talloze concrete toepassingen van stromingen
4 waar wiskundige modellering aan de basis ligt. Van enkele van mijn zoek-
tochten en plannen voor de toekomst wil ik u wat meer vertellen in deze voor-
dracht.
Wiskunde en wiskundigen hebben in de regel een niet al te best imago bij een
breed publiek. Het blijft voor velen tamelijk ongrijpbaar wat je nou `eigenlijk'
met die wiskunde kunt doen. Bovendien wordt het vaak als ingewikkeld
gezien. Het zou mooi zijn als ik dat imago in één keer helemaal zou kunnen
verbeteren, maar ik weet dat me dat niet zal lukken. Wat ik wel wil proberen
uit te leggen is wat mij beweegt in mijn werk en hoe dat gekoppeld is aan
onderzoek uit andere disciplines. Ik hoop dat u dat zal helpen bij de vraag wat
ik `eigenlijk' doe en u wat milder zal stemmen over wiskunde en wiskundigen.
Wiskunde in het groot en in het klein
Gezien met de ogen van een wiskundige doet het er niet zo toe aan welke
concrete stromingen ik werk. Om trouw te blijven aan mijn eigen motto,
heb ik echter gekozen om me te concentreren op twee zeer uiteenlopende
stromingsregimes. Aan de éne kant bestudeer ik grootschalige turbulente
stromingen zoals bijvoorbeeld in oceanen en in de atmosfeer optreden.
Aan de andere kant richt ik mij op uiterst kleinschalige verschijnselen zoals in
070213 Oratieboekje Geurts 27-02-2007 16:21 Pagina 5
complexe vloeistoffen voorkomen, of in de kleinere bloedvaten van ons
lichaam, of zelfs verschijnselen in het inwendige van biologische cellen.
Tenslotte bestudeer ik de problemen die ontstaan wanneer men deze twee
verschillende werelden in één enkel computermodel wil verenigen.
Als de stromingsverschijnselen er niet zo toe doen, waar gaat het mij dan wel
om? Om die vraag te beantwoorden wil ik een onderscheid maken tussen `wis-
kunde gebruiken' en `toegepaste wiskunde'. In steeds meer technisch onder-
zoek worden wiskundige hulpmiddelen gebruikt, vaak in de vorm van uitge-
breide softwarepakketten. Dit onderzoek kenmerkt zich vooral door de nadruk
op de concrete toepassing of het concrete verschijnsel. Bij toegepaste wiskun-
de is het doel echter anders. In plaats van de concrete problematiek van een
vakgebied, gaat de aandacht uit naar het ontdekken van structuren, verbin-
dingen en verwantschappen binnen een groep van totaal verschillend lijken-
de problemen. Hiervoor is het wat ongrijpbare fenomeen van `wiskundige
abstractie' noodzakelijk. Daarmee kan een toegepast wiskundige tegelijkertijd
een rol spelen in uiteenlopende multidisciplinaire teams. Niet omdat die wis-
kundige zo slim is, maar omdat het tot het wezen van zijn werk behoort.
Een toegepast wiskundige kan zijn vak op een aantal manieren uitoefenen,
zoals ik in figuur 1 heb geschetst. In het `service' model is de rol van de wis- 5
Wiskunde in het groot en in het klein
service centrum brug
Figuur 1: Verschillende manieren om toegepaste wiskunde in een multi-
disciplinaire omgeving vorm te geven.
070213 Oratieboekje Geurts 27-02-2007 16:21 Pagina 6
kundige vooral dienend aan het concrete probleem en wordt de al aanwezige
wiskundige expertise ingezet. Het `centrum' model vraagt van een toegepast
wiskundige om al bij de geboorte van een onderzoek betrokken te raken bij de
formulering van de doelen en de centrale vragen. Het `brug' model, tenslotte,
staat een toegepast wiskundige toe om het geleerde in het ene veld te verta-
len in de taal van het andere veld. Dit vereist een voldoende mate van wiskun-
dige abstractie om, zoals dat heet, `door het probleem heen' te kunnen kijken
en te weten wat de wiskundige structuren zijn die in beide problemen voor-
komen. Ik wil niet kiezen voor één van deze drie modellen als het `beste' voor
een toegepast wiskundige.Vaak werk ik aan diverse problemen gelijktijdig en
verandert bovendien de mate van betrokkenheid in de loop van een onder-
zoek. De wiskundige inhoud heeft dan een bijpassende dynamiek die meer of
minder gebaat is bij het éne of het andere model.
Maar kan een toegepast wiskundige dan wel zo makkelijk `switchen' en in
betrekkelijke afzondering en met weinig specifiek commitment werken?
Met andere woorden `Does the subject matter?', ofwel,`Doet het onderwerp er
toe?'. Het is de titel van een schilderij van Sir Alfred Munnings (figuur 2) waar-
op een aantal mensen te zien is dat een beeldhouwwerk bewondert.
Klaarblijkelijk denkt ieder er het zijne of het hare van. Deze kritiek op `Kunst
6 om de Kunst' heeft zijn analogon in `Wiskunde om de Wiskunde'. Veel zuiver
wiskundigen en ook menig toegepast wiskundige zal deze vorm van wiskunde
te vuur en te zwaard willen verdedigen. Ik vind het echter niet van toepassing
op mijn eigen werk en sluit me graag aan bij de woorden van René Descartes:
Wiskunde in het groot en in het klein
Figuur 2: 'Does the subject matter?' door Sir Alfred Munnings.
070213 Oratieboekje Geurts 27-02-2007 16:22 Pagina 7
Elk probleem dat ik oploste werd een regel waarmee ik later andere problemen kon
oplossen. Dit is voor mij de basis van `wiskundige abstractie'. De vraag `Does
the subject matter?' kan door een toegepast wiskundige dan ook niet met
`nee' worden beantwoord. De scheidslijn of iets dan wel-of-niet toegepaste
wiskunde is,is niet erg goed bepaald.Sterker nog,het heeft voordelen om deze
grensstreek tussen wiskunde en toepassing veelvuldig te doorkruisen. Van
mijn tochten in dit gebied wil ik in de rest van mijn voordracht een aantal
aspecten nader belichten.
Ik wil beginnen met een belangrijke `grondstof' voor mijn werk - het model-
leren met computers. Daarna zal ik laten zien hoe ik met deze computer-
modellen de fantastische complexiteit van turbulente stromingen probeer te
begrijpen en te voorspellen. Naast stromingen op grote schaal besteed ik veel
aandacht aan processen op microscopische schalen. Hierbij spelen geheel
andere fysische, chemische en biologische mechanismen een hoofdrol.
Die zijn van belang bij allerlei fascinerende toepassingen die tegenwoordig in
de belangstelling staan, met name gericht op miniaturisatie - dus gericht op
sneller, kleiner, beter, slimmer. Hier zal ik later nog op terugkomen.
Modelleren met computers 7
Wiskunde in het groot en in het klein
De ontwikkeling van een betrouwbare computersimulatie is een hoofddoel
van veel toegepast onderzoek. Zo'n simulatie kan inzicht geven in complex
gedrag in systemen waar experimenten onvolledig zijn, of niet goed mogelijk
zijn, of misschien wel te gevaarlijk. Zo'n simulatie omgeving kan ook dienen
om de invloed van afzonderlijke mechanismen los van elkaar te bestuderen.
Men kan hiermee ook mogelijke scenario's naast elkaar zetten of processen
optimaliseren, bijvoorbeeld wat betreft het gebruik van grondstoffen en ener-
gie. Deze computersimulaties zijn in vele opzichten vergelijkbaar met fysische
experimenten. Om ze te bouwen is niet alleen kennis van programmeren en
datamanagement noodzakelijk maar moet men ook concepten en hulpmidde-
len opbouwen om grote softwaresystemen te construeren, te testen en te
laten groeien. Dit is tegenwoordig van net zo'n centraal belang, als wiskundige
analyse en algebra dat al eeuwen waren.
070213 Oratieboekje Geurts 27-02-2007 16:22 Pagina 8
Figuur 3: Discretisatie van een continue lijn in een aantal punten,
verbonden door rechte lijnstukjes.
Bij de bestudering van stromingsverschijnselen met computermodellen loop
je meteen tegen een belangrijk probleem op. Een computer is goed in het zet-
ten van `stapjes'. Een computer kent `1' of `0' en niets daar tussenin. Echter,
vrijwel alle fysische modellen in de stromingsmechanica zijn continu in de
8 plaats en/of in de tijd. In deze modellen is er altijd wel een tijdstip te kiezen
tussen twee andere tijdstippen, of een locatie tussen twee andere locaties. Om
toch in staat te zijn om continuüm modellen in een computer te simuleren
moet men deze modellen `discretiseren', zoals dat heet. Als voorbeeld heb ik
in figuur 3 aangegeven hoe een continue lijn benaderd kan worden met een
collectie korte rechte lijnstukjes. Als de continue lijn glad verloopt en ik meer
en tegelijkertijd kortere lijnstukjes toe sta, dan kan ik de benadering steeds
nauwkeuriger maken. Op basis van dergelijke benaderingsprincipes ontstaat
de mogelijkheid om de fysische situatie te beschrijven in een vorm waar een
computer wat mee kan. Het verloop van een stroming kan dan bijvoorbeeld
worden benaderd door een enorm groot aantal erg kleine stapjes in de plaats
en in de tijd te zetten.
Wiskunde in het groot en in het klein
Het benaderen van punten op een lijn is natuurlijk niet genoeg om realistische
problemen mee te modelleren. Daarvoor is in de regel een uitbreiding naar
drie dimensies noodzakelijk. Bovendien kun je je afvragen of het gebruik van
rechte lijnstukjes wel zo optimaal is, of, wat je zou moeten doen wanneer de
oplossing in de tijd verandert. Dit soort vragen en overwegingen horen bij de
numerieke wiskunde waar veel van mijn dagelijkse werk aan gewijd is.
070213 Oratieboekje Geurts 27-02-2007 16:22 Pagina 9
Figuur 4: Weergave van stroming, temperatuur en ijsverdeling in een computer-
model van de aarde.
Na een geschikte discretisatie is het mogelijk om voorspellingen te doen van 9
het gedrag van allerlei systemen, soms gericht op vragen met een directe Wiskunde in het groot en in het klein
maatschappelijke relevantie. Een voorbeeld is opgenomen in figuur 4 waar
enkele grote oceaanstromingen, de watertemperatuur en de zee-ijs concen-
tratie te zien zijn. Aan deze problemen heb ik in de afgelopen jaren met colle-
ga's uit Los Alamos gewerkt. Ik wil hier in het bijzonder Darryl Holm noemen.
De pijltjes geven de locale stroomrichting weer. Omdat het aardoppervlak in
zeer veel `rekencellen' is onderverdeeld kunnen allerlei details worden weer-
geven. U ziet hier ook dat computers niet alleen gebruikt worden voor het
genereren van oplossingen, maar minstens zo belangrijk zijn voor het struc-
tureren van de verkregen informatie. Eigenschappen van stromingen kunnen
goed worden gevisualiseerd en bewerkt om tot een passende interpretatie te
komen.
Als de overgang van `continu' naar `discreet' niet goed gebeurt dan kan dit
belangrijke fouten introduceren in het computermodel. Een leidraad hierbij is
om bij de constructie van discretisatieschema's fysische basisprincipes zo
expliciet mogelijk te verwerken. Een mooi herkenbaar voorbeeld hiervan is de
eigenschap dat massa een zogenaamde behouden grootheid is. Dit zult u allen
070213 Oratieboekje Geurts 27-02-2007 16:22 Pagina 10
direct herkennen; materie kan niet zomaar spontaan ontstaan of verdwijnen.
Met andere woorden, de massa in een deel van een stromingsdomein kan
alleen veranderen als gevolg van instroom of uitstroom aan de randen.
Vergelijkbare eisen kan men formuleren voor impuls en energie in niet-vis-
keuze stromingen. In algemene situaties worden deze eigenschappen door
zogenaamde eindige volume of eindige elementen discretisaties intact gela-
ten.Andere benaderingsmethoden hebben deze eigenschap óf alleen bij bena-
dering,óf alleen onder bepaalde condities.Hierdoor zijn ze in de regel een stuk
minder geschikt. Een elegant voorbeeld van een eindige volume discretisatie
is de zogenaamde scheefsymmetrische discretisatie van de convectieve
termen, waaraan door collega's in Groningen wordt gewerkt. Door aan de
scheefsymmetrie vast te houden, zelfs tegen inlevering van iets van de forme-
le orde van nauwkeurigheid van het schema, wordt het mogelijk om stabiele
simulaties ook bij grove resoluties voor elkaar te krijgen. De uitbreiding van
deze aanpak naar complexe situaties vormt een belangrijke uitdaging in de
nabije toekomst.
Vaak wordt men geconfronteerd met een combinatie van onzekerheden in
een computermodel. Zowel de numerieke behandeling als sommige onder-
delen van het continuüm model kunnen aanzienlijke beperkingen met zich
10 meebrengen. Bovendien kan de beschikbare rekenkracht een sterke belemme-
ring zijn voor de mate van detaillering van een numerieke oplossing. Onder
deze omstandigheden kunnen de diverse foutbronnen een belangrijke versto-
rende invloed hebben en bovendien elkaar onderling versterken. Het is dan
van belang om vanuit kennis van de wiskundige eigenschappen van het
model en de fysische principes die er aan ten grondslag liggen te beoordelen
wat de kwaliteit van een gegeven computermodel is. Aan de studie van de
dynamische effecten van deze onvermijdelijke fouten heb ik in de afgelopen
jaren met plezier gewerkt met collega's uit Leuven en Parijs waar ik Johan
Meyers en Pierre Sagaut expliciet van wil noemen.
Voor iemand die aan stromingen op `grote' en op `kleine' schalen werkt is een
Wiskunde in het groot en in het klein logische volgende vraag welke problemen moeten worden overwonnen wan-
neer men deze werelden in één enkel computermodel wil combineren.
De koppeling van een diversiteit aan modellen moet natuurlijk recht blijven
doen aan de natuurkundige basisprincipes die als uitgangspunt dienden.
Nou zijn de dominante mechanismen in grote systemen niet hetzelfde als die
in kleine systemen. Het gevaar bestaat daarmee dat er een bonte lappendeken
aan aannames, empirische kennis en specifieke deelmodellen wordt ver-
070213 Oratieboekje Geurts 27-02-2007 16:22 Pagina 11
zameld in de hoop dat deze onderdelen elkaar niet zullen `bijten' wanneer ze
in een omvattender model worden samengevoegd. Ik ben echter van mening
dat in voldoende complexe situaties elke ad hoc aanpak gedoemd is om vroe-
ger of later, en op een tamelijk essentiële manier te falen. Hier zijn met gemak
allerlei voorbeelden van te noemen. Omdat ons leven meer en meer vervloch-
ten raakt met steeds complexere systemen is het van belang om methodes te
ontwikkelen waarmee die complexiteit op een betrouwbare manier kan wor-
den begrepen in termen van de grondleggende natuurwetten. Mijn antwoord
is in de vorm van consistente `multiscale' modellering en simulatie, waarin
wiskundige abstractie en concrete modelstudies hoofdingrediënten zijn. Ik wil
dat graag illustreren aan de hand van turbulente stromingen.
Wiskunde en turbulentie
Turbulentie kent u állemaal wel in de vorm van een onrustige vlucht met een
vliegtuig, of het suizen van de wind in uw oren wanneer u tegen de wind in
fietst of loopt.Turbulentie is een stromingsverschijnsel waarbij structuren van
allerlei groottes tegelijkertijd voorkomen. Kijkend naar zo'n turbulente stro-
ming zullen de grotere structuren direct opvallen. Deze bevatten het grootste
deel van de energie en zijn typisch voor de concrete stroming waar u mee te 11
maken hebt. Mooie voorbeelden zijn de satellietopnames die de dagelijkse Wiskunde in het groot en in het klein
weerpraatjes illustreren. De grote gekromde wolkenpatronen die bij een stevige
depressie horen vallen dan meteen op. Echter, die wolkenformaties zijn niet
netjes glad. Als men wat beter kijkt dan vallen allerlei kleinere variaties op.
Dit is mooi te zien in figuur 5(a).
Een scala aan structuren van verschillende groottes betekent ook een scala
aan tijdschalen. Grote structuren zullen voor geruime tijd globaal hun vorm
behouden. Ze zijn behoorlijk coherent, wat we bijvoorbeeld kennen als dagen-
lange periodes met mooi weer of met grijs weer. Naarmate de structuren klei-
ner zijn, zullen ze ook korter blijven bestaan. Dit geeft een totaalbeeld waarbij
tal van levendige kleinere structuren worden meegeveegd op de flanken van
grotere structuren, die op hun beurt worden meegeveegd in de beweging van
nog grotere structuren. Dit type transport heet `convectief'. Deze complexe
draaierigheid is geschetst in figuur 5(b). Veel mooiere tekeningen zijn al
eeuwen geleden door Leonardo Da Vinci gemaakt. Dit illustreert ook de lange
geschiedenis van studie naar dit intrigerende fenomeen.
070213 Oratieboekje Geurts 27-02-2007 16:22 Pagina 12
(a) (b)
Figuur 5: (a) Voorbeeld van een cycloon nabij IJsland (earthobservatory. nasa.gov)
(b) illustratie van een collectie wervels.
De bouwsteen in deze schets is een zogenaamde `vortex' - een gebiedje in de
stroming waarin een tijd lang een samenhangende ronddraaiende beweging
12 plaatsvindt, een soort draaikolk zoals soms in het wateroppervlak achter
brugpijlers in een rivier te zien is. In de tekening is alleen een schets in twee
dimensies gegeven - natuurlijk is een vortex iets met drie dimensies.Voor het
gemak kunt u denken aan een flexibel, tijdelijk bestaand buisje met wervelen-
de beweging, of een vloeistofbeweging die meer weg heeft van een ronddraai-
ende pannenkoek. Een turbulente stroming bestaat uit een grote collectie van
dergelijke vortices, die bovendien komen en gaan in allerlei tempo's die
samenhangen met hun eigen groottes. De interacties tussen wervelingen van
verschillende groottes vormen de basis voor de complexiteit van turbulentie.
Een turbulente stroming wordt gevoed door energie toe te voeren aan de gro-
tere schalen, bijvoorbeeld door te roeren. Uit de interacties tussen stromings-
Wiskunde in het groot en in het klein details met verschillende groottes ontstaan ook meer gelokaliseerde vloeistof-
bewegingen. Dit is een niet-lineair proces. Gemiddeld gezien stroomt hierdoor
energie van de grote schalen naar de kleinere structuren. Dit proces staat
bekend als de `energiecascade' die door de Engelse geleerde Richardson (1920)
en later door de Russische geleerde Kolmogorov (1941) naar voren is gebracht.
Het verhaal is echter nog niet af. Als je ergens energie in stopt, en vervolgens
alleen zegt hoe die energie zich verdeelt over kleinere structuren dan zou
070213 Oratieboekje Geurts 27-02-2007 16:22 Pagina 13
gaandeweg steeds meer energie in de stroming aanwezig zijn. Lang genoeg
roeren in een kopje koffie zou onverwachte effecten hebben. Er is echter ook
een mechanisme dat energie onttrekt aan een stroming. Dit staat bekend als
dissipatie, een soort interne wrijving. Dit mechanisme werkt vooral op vol-
doende kleine structuren en zorgt voor warmtegeneratie. In een turbulente
stroming hebben we te maken met een forse scheiding tussen de lengtescha-
len die energie ontvangen en de lengteschalen die de energie
dissiperen. Daar tussenin zit een gebied van allerlei, tamelijk kleine structu-
ren die vooral als `doorgeefluik' voor deze energie fungeren. Dit gebied staat
bekend als het `inertiële' gebied.
Het samenspel van convectieve en dissipatieve invloeden wordt wiskundig
beschreven door de beroemde Navier-Stokes vergelijkingen. Dit model is al
zo'n anderhalve eeuw beschikbaar en is op allerlei manieren aan de tand
gevoeld en geanalyseerd door generaties van wetenschappers. Een maat voor
de sterkte van de convectieve invloeden, ten opzichte van de dissipatieve
effecten wordt weergegeven in het zogenaamde Reynolds getal. Een hoog
Reynolds getal betekent dat de niet-lineaire convectieve effecten domineren
en de stroming turbulent zal zijn. Bij een zeer laag Reynolds getal zijn dissi-
patieve effecten dominant en verloopt de stroming glad en geordend.Ze wordt
dan laminair genoemd. 13
Wiskunde in het groot en in het klein
De complexiteit van een turbulente stroming kan ook in getallen worden
gevangen. Het aantal rekenpunten dat noodzakelijk is om alle relevante
details met voldoende precisie te kunnen bepalen is evenredig met het
Reynolds getal in de macht 9/4. Dat betekent bijvoorbeeld dat een toename
van het Reynolds getal met een factor 10 een toename in het geheugengebruik
van een computer met een factor van ongeveer 200 vraagt. Belangrijker is ech-
ter de hoeveelheid rekenwerk die een simulatie van de Navier-Stokes vergelij-
kingen vereist. Als we bedenken dat de kleinste structuren ook het snelst in
de tijd variëren dan kan men laten zien dat dit rekenwerk groeit met de derde
macht van het Reynolds getal. Een factor 10 stijging in het Reynolds getal kost
dan zelfs 1000 keer meer rekenwerk.
De computer die daarvoor nodig is neemt al snel een astronomische omvang
aan. Hoewel computers de afgelopen decennia gemiddeld elke 5 jaar een
factor 10 sneller zijn geworden illustreert deze schalingswet een groot pro-
bleem voor de simulatie van praktisch relevante situaties. Zelfs een factor
1000 tot 10000 toename in verwerkingssnelheid levert niet veel meer op dan
070213 Oratieboekje Geurts 27-02-2007 16:22 Pagina 14
ongeveer een factor 10 toename in Reynolds getal bij gelijkblijvende rekentijd.
Op zo'n factor 1000 à 10000 versnelling moeten we, optimistisch gezien,
echter wel 15 à 20 jaar wachten. En dat terwijl het gat tussen `haalbaar
Reynolds getal' en `gewenst Reynolds getal' vaak vele malen groter is dan deze
factor 10. Voor diverse praktijkproblemen zouden we al gauw een eeuw moe-
ten wachten voordat computers groot genoeg zouden zijn om simulaties in
alle detail aan te kunnen. Het zal duidelijk zijn dat dit geen optie is. In plaats
daarvan lijkt het reduceren van de turbulente complexiteit in onze computer-
modellen het enige alternatief op de kortere termijn. Dit maakt het probleem
numeriek een stuk eenvoudiger en tegelijkertijd veel rijker geschakeerd en
uitdagend omdat deze gewenste vereenvoudiging alleen mogelijk is door een
14
(a)
(b)
Wiskunde in het groot en in het klein
Figuur 6: Illustratie van het effect van ruimtelijke filtering.
In (a) zijn sedimentwolken in een deel van de Kaspische zee ongefilterd
weergegeven en in (b) is de gefilterde representatie te zien (visibleearth.
nasa.gov). Het wegnemen van de kleinere details is niet sterk ten koste
gegaan van de grotere structuren.
070213 Oratieboekje Geurts 27-02-2007 16:22 Pagina 15
passende wiskundige modellering. Het is niet mogelijk om een `botte bijl'
methode te volgen - we zullen listiger moeten zijn.
Het alternatief van een minder gedetailleerde weergave van een turbulente
stroming staat al sinds de jaren 80 flink in de belangstelling. Hiervoor zijn
diverse `gemiddelde' beschrijvingen ontwikkeld. Ik wil mij hier richten
op zogenaamde large-eddy simulaties die gebaseerd zijn op een ruimtelijk
gefilterde stroming. Zo'n filter is niets anders dan een gewogen gemiddelde
van de stroming in een relatief klein volume. Signalen die weinig variëren in
dit kleine volume worden nauwelijks door het filter gewijzigd terwijl structu-
ren die veel variëren binnen dit volume na toepassing van het filter vrijwel
geheel zijn verdwenen. De toepassing van zo'n ruimtelijk filter is geïllustreerd
in figuur 6.We zien duidelijk een afname van het belang van de kleinere struc-
turen na toepassing van het filter, terwijl de grotere contouren nog prima te
herkennen zijn.
Een gefilterde oplossing kan met minder rekeninspanning worden bepaald.
Filteren van de Navier-Stokes vergelijkingen introduceert echter een nieuwe
complicatie. Wanneer de niet-lineaire convectieve termen worden gefilterd
ontstaat een zogenaamd `sluitingsprobleem'. We moeten eigenlijk iets uit-
rekenen wat we nou net hebben weggefilterd. Daar zullen we iets aan moeten 15
doen omdat de óngesloten vergelijkingen niet kunnen worden gebruikt voor Wiskunde in het groot en in het klein
numerieke simulaties. Ze zijn eenvoudigweg incompleet.
Het sluitingsprobleem brengt tot uitdrukking dat de grotere structuren een
effect voelen van alle kleinere structuren. Klein is daarbij gerelateerd aan de
breedte van het filter.Voor deze effecten zal een model moeten worden geïn-
troduceerd. Maar hoe kan men zo'n model motiveren? Het is immers geba-
seerd op de onbekende kleinere structuren in een turbulente oplossing die we
nou juist willen bepalen. Deze ingewikkelde situatie staat model voor slui-
tingsproblemen in allerlei andere onderzoeksgebieden, zoals in de vastestof-
fysica, in de polymeerfysica of in de fysische biologie. Uiteindelijk kan men
niet zomaar een model `verzinnen' maar zal de gefilterde beschrijving `zoveel
mogelijk' moeten blijven voldoen aan basisprincipes van de ongefilterde
beschrijving. Welke basisprincipes en of `zoveel mogelijk' ook echt genoeg is,
is op voorhand niet aan te geven. Dat is onderwerp van een levendige discus-
sie in de literatuur en maakt een enigszins experimenterende aanpak nood-
zakelijk.
070213 Oratieboekje Geurts 27-02-2007 16:22 Pagina 16
Het bepalen of een sluiting ook echt geschikt is vereist een multidisciplinaire
blik waar een toegepast wiskundige een centrale bijdrage aan kan leveren.
Het ontbreken van een compleet inzicht in de dynamica van kleinschalige
turbulentie is aanleiding geweest voor een ruime collectie aan turbulentiemo-
dellen waarmee de large-eddy vergelijkingen worden gesloten. Dit worden ook
wel `subgrid' modellen genoemd. Om wat structuur aan te kunnen brengen in
deze modelleerwoede is een `wiskundige stap terug' vereist waarmee men
probeert om de essentie boven tafel te krijgen. Van dit werk wil ik één recent
voorbeeld geven. Het bouwt voort op mijn vroegere samenwerking met Hans
Kuerten en Bert Vreman in de groep van Pieter Zandbergen, waar ik met
plezier aan terugdenk.
Een populaire fysische redenatie die tot een subgrid model leidt verloopt als
volgt. Een sterke lokale dissipatie zal de intensiteit van de turbulentie reduce-
ren. De mate van dissipatie wordt deels bepaald door de zogenaamde `visco-
siteit'. Een hoge `viscositeit', of in alledaags Nederlands, een hoge mate van
`stroperigheid', leidt dus tot een minder fijnschalige stroming. Een model dat
een verhoogde viscositeit afgeeft daar waar kleine schalen de kop op willen
steken, zal in ieder geval een gladder stromingsbeeld laten zien. Van dit type
16 modellen zijn diverse voorbeelden geformuleerd. Deze aanpak levert gegaran-
deerd gladdere oplossingen, echter met wisselend succes wat de nauwkeurig-
heid betreft. De echte vraag is dan ook niet hoe een oplossing glad gemaakt
kan worden, maar hoe de echte effecten van de kleinere schalen correct kun-
nen worden weergegeven. Gelukkig biedt de wiskunde een mooi alternatief. In
plaats van het `repareren' van de gefilterde vergelijkingen met een pragma-
tisch model, biedt het vasthouden aan wiskundige eigenschappen van de
gefilterde vergelijkingen een belangrijke leidraad voor succesvolle modellen.
Dit motief is goed te herkennen in zogenaamde regularisatiemodellen. Daarin
worden de convectieve termen direct veranderd, in plaats van het poneren
van een subgrid model achteraf. Voor deze regularisatiemodellen is een
Wiskunde in het groot en in het klein elegante variationele formulering mogelijk die een precieze interpretatie en
een systematische uitbreiding naar complexe situaties mogelijk maakt.
Ter illustratie wil ik kort stilstaan bij Leray regularisatie en NS- modellering.
In het geval van Leray regularisatie onderscheidt men twee verschillende
vloeistofsnelheden.Ten eerste is er het snelheidsveld dat door de vergelijkin-
gen wordt voorspeld. Ten tweede is er het snelheidsveld waarmee de oplos-
070213 Oratieboekje Geurts 27-02-2007 16:22 Pagina 17
sing wordt getransporteerd. In geval van de Navier-Stokes vergelijkingen zijn
deze beide snelheden identiek. Bij Leray regularisatie kiest men er echter voor
om de `transportsnelheid' gelijk te nemen aan de gefilterde snelheid. Hierdoor
kan men de niet-lineariteit naar believen `temmen'. De gebruiker van dit
model heeft dus zelf controle over de gladheid van de oplossing, precies wat
men zou willen.
17
Figuur 7: NS- modellering is gebaseerd op een gefilterde Kelvin circulatie. Wiskunde in het groot en in het klein
In plaats van een kringintegraal rond de rode contour, die met de onge-
filterde turbulente snelheid u in de stroming beweegt, wordt de circulatie
bepaald op basis van de blauwe contour die met een gladder, gefilterd
snelheidsveld voortbeweegt. Dit principe maakt een systematische
afleiding mogelijk van een sub-filter model voor de dynamica van de
kleine schalen.
Bij het NS- model grijpt de `turbulentie-modelleur' in op het niveau van het
variatieprincipe dat aan de Navier-Stokes vergelijkingen ten grondslag ligt.
Dit model is inzichtelijk gemaakt in figuur 7. Een beroemde stelling van Kelvin
zegt dat de kringintegraal van de snelheid rond een gesloten, met de stroming
meebewegende contour behouden is voor een niet-viskeuze vloeistof.
Dit principe kan worden gebruikt om de convectieve termen in de Navier-
Stokes vergelijkingen af te leiden.Analoog aan het Leray-principe, wordt in de
NS- modellering gekeken naar een kringintegraal rond een met de gefilterde
snelheid bewegende contour. Deze gefilterde Kelvin stelling is equivalent aan
070213 Oratieboekje Geurts 27-02-2007 16:22 Pagina 18
de zogenaamde Euler-Poincaré vergelijkingen. Met wat moeite kan men hier
weer de large-eddy vergelijkingen in herkennen en het geïmpliceerde model
`aflezen'.
(a) (b) (c)
Figuur 8: Turbulente menging zoals wordt verkregen met directe numerieke
simulatie (a) of met large-eddy simulatie gebaseerd op het NS- (b) of
het Leray (c) model.
18
Ook wiskundig elegante modellen ontkomen niet aan een confrontatie met de
volledige oplossing van de Navier-Stokes vergelijkingen. In figuur 8 wordt de
ongefilterde oplossing vergeleken met de Leray en NS- voorspellingen.
De globale overeenstemming tussen gefilterde oplossing en large-eddy voor-
spellingen is direct te zien. Deze overeenstemming is ook gevonden voor aller-
lei afgeleide stromingsaspecten.Het zou echter te ver voeren om hier al te veel
meer over te zeggen.
Regularisatiemodellering is ook uitgewerkt voor een aantal situaties waarin
turbulentie modulatie van belang is. In die gevallen stellen we een turbulente
stroming bloot aan één of meer externe mechanismen. Dit geeft zowel inzicht
Wiskunde in het groot en in het klein in turbulentie als in de large-eddy modellering ervan. Een mooi voorbeeld is
turbulente verbranding, zoals te zien is in figuur 9a. Het turbulente mengpro-
ces van brandstof en zuurstof wordt danig belemmerd door de warmte die
bij de verbranding vrijkomt. Dit fenomeen wordt correct weergegeven met
regularisatiemodellen, zonder dat daarvoor allerlei modelparameters moeten
worden geïntroduceerd.
070213 Oratieboekje Geurts 27-02-2007 16:22 Pagina 19
(a) (b)
Figuur 9: Een onderdeel van een vlamoppervlak zoals door regularisatie-
modellering wordt voorspeld (a) en een experimentele opstelling
waarmee roterende Rayleigh-Bénard convectie wordt onderzocht (b).
Een goede voorspelling is ook gevonden voor turbulente stroming waarin rota-
tie en zwaartekracht een rol spelen. Dit treedt bijvoorbeeld op in roterende 19
Rayleigh-Bénard convectie. In figuur 9b is een experimentele opstelling te zien Wiskunde in het groot en in het klein
behorende bij het promotiewerk van Rudie Kunnen in Eindhoven.Water wordt
van onderaf opgewarmd, vergelijkbaar met alledaagse kookpraktijken. Door
dichtheidsverschillen zullen er wervelingen in het water optreden. Het warm-
tetransport tussen bodem en deksel zal hiermee samenhangen. Dit staat
bekend als Rayleigh-Bénard convectie. Wanneer we deze hele stellage op een
grote draaiende tafel zetten kunnen we de effecten van rotatie op dit turbu-
lente warmtetransport onderzoeken. Dat is natuurlijk niet meer iets wat u in
uw keuken zou doen. Het levert een modelsituatie op waarmee warmtetrans-
port in sommige geofysische problemen kan worden nagebootst. Op zijn beurt
is dit weer relevant voor het begrijpen van bijvoorbeeld oceaancirculatie, voor
uitwisselingsprocessen tussen oceanen en atmosfeer en daarmee ook voor
het begrijpen van scenario's voor klimaatveranderingen. Ik vind dit een mooie
illustratie van hoe men in een paar stappen van een onderzoek gericht op tur-
bulent transport kan komen tot connecties met een belangwekkend maat-
schappelijk probleem.
070213 Oratieboekje Geurts 27-02-2007 16:23 Pagina 20
De regularisatiemodellering laat zich ook naar tal van andere situaties uit-
breiden. Interessante toepassingen ontstaan wanneer bijvoorbeeld elektro-
magnetische velden de stroming aandrijven, of bij stroming in de buurt van
complexe randen zoals ik samen met Arek Kuczaj heb kunnen onderzoeken,
of in het geval van dispersie van grote aantallen deeltjes. In het laatste geval
kunt u bijvoorbeeld denken aan kleine luchtbellen in water of katalyse deel-
tjes in een chemische reactor zoals in de groepen van Detlef Lohse en Hans
Kuipers worden bestudeerd. In al die gevallen zijn de voorspellingen op basis
van regularisatiemodellen minstens zo nauwkeurig gebleken als voorspellin-
gen die zijn verkregen met één van de meer pragmatische modellen. Dat is
bemoedigend maar laat ook een wat ontevreden gevoel over. Waar een mooie
wiskundige stelling met een sluitend bewijs voor eens en altijd kan worden
afgedekt, is het eigen aan deze turbulentie modellering dat men een meer
experimenteel element moet accepteren en de `kwaliteit' van een voorspelling
van geval tot geval aan geschikte tests moet onderwerpen.
Wiskunde en het leefmilieu
Traditioneel is veel onderzoek naar turbulente stromingen gericht op proble-
20 men uit de techniek. Voorbeelden te over, zoals verbranding, aerodynamica,
akoestiek, interactie tussen stroming en constructies, turbomachines, etc. etc..
Een mooie nieuwe kans voor moderne toegepaste stromingsleer ligt in het
bewaken en voorspellen van het Nederlandse leefmilieu. De menselijke
invloed is in drukbevolkte rijke landen als Nederland zo ver toegenomen dat
een actief managen van onze leefomgeving noodzakelijk wordt. Ook hier kan
een toegepast wiskundige aanpak een centrale rol vervullen.
Met de aanleg van een overdekkend netwerk van sensoren kan informatie
omtrent temperatuur en luchtdruk, maar ook concentraties van allerlei stof-
fen altijd en overal in Nederland beschikbaar komen. Door gebruik te maken
van miniaturisatie kan een dicht weefsel van informatie worden gecreëerd.
Wiskunde in het groot en in het klein De integratie van zo'n datastroom met een nauwkeurige modellering van de
belangrijkste fysische en chemische processen zal een prachtige omgeving
vormen waarmee gedetailleerde voorspellingen kunnen worden gedaan.
Dit kan bijvoorbeeld worden ingezet voor het beheersen van extreme korte
termijn wateroverlast, of helpen bij rampen zoals branden of industriële onge-
lukken. Maar ook belangen op de langere termijn kunnen worden gediend.
Te denken is daarbij aan de fijn stof problematiek en andere aspecten van
070213 Oratieboekje Geurts 27-02-2007 16:23 Pagina 21
luchtkwaliteit, of het simuleren van milieueffecten van grote ingrepen zoals
een luchthaven of een windmolenpark in de Noordzee, of de consequenties
van een verregaande klimaatverandering voor Nederland.
Een dergelijk wiskundig model van Nederland zou als een soort super
`Google Earth' de mogelijkheid moeten hebben om dynamisch te kunnen
inzoomen. Daarbij zou niet alleen een mooi plaatje van het landschap moeten
worden getoond, maar zou vooral belangrijke informatie over de korte- en
langetermijnontwikkeling van tal van eigenschappen gelijktijdig moeten wor-
den gesimuleerd. Om te kunnen slagen dienen natuurkundige, chemische en
biologische principes zo compleet mogelijk en zo vroeg mogelijk in de
ontwikkeling te worden opgenomen. Dit is een schoolvoorbeeld van een
multiscale probleem.
Voorspellingen dienen te worden gedaan op nationale, regionale maar ook op
veel kleinere schalen, zelfs tot op het niveau van individuele wijken en stra-
ten. De systematische modellering, het integreren van natuurkunde, schei-
kunde en biologie, de numerieke multiresolutie en nesting van modellen, het
modelleren van stromingen over landschappen zijn allemaal aspecten waar
toegepaste wiskunde een centrumrol kan vervullen. Een voorbeeld van een
waarnemingssysteem is het NEON project dat recent in Amerika van start is 21
gegaan. Hierin wordt een nationaal ecologisch observatienetwerk opgebouwd. Wiskunde in het groot en in het klein
Echter, om zo'n observatienetwerk echt van waarde te laten zijn voor de
samenleving is de integratie met een wiskundige computermodellering ver-
eist. Zonder wiskunde geen betrouwbare voorspellingen, niet voor de lokale
kortetermijn- en ook niet voor langetermijntrends.
070213 Oratieboekje Geurts 27-02-2007 16:23 Pagina 22
Wiskunde en complexe vloeistoffen
Na deze beschrijving van mijn interesses in macroscopische stromingen vol
met turbulente wervelingen, wil ik nu overschakelen naar een geheel ander
gebied van de stromingsleer. Ik wil kijken naar de wereld van het extreem
kleine en het zeer langzame. Onder deze omstandigheden wordt het gedrag
van eenvoudige vloeistoffen zoals water bepaald door zogenaamde `viskeuze'
effecten. Het corresponderende Reynolds getal is zeer klein. Dergelijke stro-
mingen staan bekend als Stokes stromingen. Ongeveer een eeuw geleden zijn
Stokes stromingen door één van Nederlands' grootste wetenschappers,
Hendrik Antoon Lorentz, voor het eerst opgelost. In de jaren zestig van de vorige
eeuw is dit probleem netjes wiskundig onderbouwd, met name door de
Russische wiskundige Ladyzhenskaya.
Bij de beschrijving van turbulentie heb ik aangegeven dat `spannende'
stromingen ontstaan ten gevolge van de convectieve niet-lineariteit en dat
viskeuze effecten vooral deze levendigheid `dempen'. Je zou dus verwachten
dat een stroming die door viskeuze effecten wordt gedomineerd niet al te veel
interessants zal hebben. Het probleem is analytisch opgelost - klaar. Waarom
wil ik dan toch nog naar dit regime kijken? De reden is dat er een tweetal
22 belangrijke uitbreidingen mogelijk zijn die van dit stromingsregime meteen
weer een interessant werkterrein maken, met prachtige nieuwe toepassingen.
De uitbreidingen waar ik aan denk ontstaan aan de ene kant door het gebruik
van complexe vloeistoffen die een stuk exotischer gedrag laten zien dan bij-
voorbeeld water, en aan de andere kant door toepassing van voornamelijk
waterige vloeistoffen, maar met een complexe inwendige structuur vol met
beweeglijke randen. Daar wil ik nu nader op ingaan.
Tot nog toe heb ik gekeken naar eenvoudige stoffen als water en lucht. Dit zijn
voorbeelden van zogenaamde Newtonse stoffen en hun gedrag wordt prima
beschreven met de Navier-Stokes vergelijkingen. Kenmerkend is dat de visco-
siteit een materiaaleigenschap is. Het maakt niet uit wat de stromingscondi-
Wiskunde in het groot en in het klein ties zijn, de viscositeit is altijd gelijk. Er zijn echter ook tal van vloeistoffen
waarin de viscositeit geheel of gedeeltelijk wordt bepaald door de stromings-
condities. Dit worden niet-Newtonse vloeistoffen genoemd. Deze materialen
kunnen zeer uiteenlopend gedrag laten zien. Als voorbeeld, een oplossing van
maizena in water zal steviger aanvoelen naarmate men dit mengsel krach-
tiger roert. Dit wordt shear thickening genoemd. Bij voldoende hoge concen-
traties en snelle bewegingen kan dit materiaal voldoende weerstand bieden
070213 Oratieboekje Geurts 27-02-2007 16:23 Pagina 23
om zelfs over te kunnen lopen. Het omgekeerde bestaat ook. Een materiaal als
verf wordt `vloeibaarder' naarmate men het krachtiger roert - dit staat bekend
als shear thinning.
De relatie tussen materiaaleigenschappen en stromingscondities wordt voor
niet-Newtonse stoffen uitgedrukt in een zogenaamde constitutieve relatie.
De macroscopische consequenties van de bijzondere microscopische struc-
tuur van het materiaal komen hierin tot uitdrukking. U kunt bijvoorbeeld den-
ken aan een materiaal dat bestaat uit lange moleculen die in een beweeglijke
kluwen elkaar in de weg zitten. Bij hoge concentraties zullen deze moleculen
vooral langs hun eigen contour kunnen glijden en nauwelijks nog in de dwars-
richting.
Elk afzonderlijk molecuul is als een sliert spaghetti opgesloten door de ande-
re slierten. Waarschijnlijk dacht de Franse wetenschapper de Gennes eerder
aan een kuil met slangen toen hij als één van de eersten aan dit probleem
werkte - dit fenomeen staat dan ook bekend als `reptatie'.Wanneer men in dit
materiaal zou roeren dan zal men shear-thinning te zien krijgen - harder roe-
ren gaat relatief makkelijker. Op microscopische schaal zal men zien dat de
spaghetti-slierten dan gemiddeld minder verweven zijn en meer gelijkgericht.
23
Het leggen van relaties tussen de microwereld en materiaaleigenschappen in Wiskunde in het groot en in het klein
de macrowereld is het terrein van de reologie. Ik leerde reologie voor het eerst
kennen tijdens mijn promotie onder begeleiding van Frits Wiegel en wijlen
Piet van der Wallen-Mijnlieff. Zij waren inspirerende voorbeelden die mij het
belang van `mooie theorie' hebben laten zien, met respect voor wiskundige
elegantie en structuur, en beperking tot de essentie, wars van allerlei franje.
Op basis van constitutieve relaties kunnen uitbreidingen van de Navier-
Stokes vergelijkingen worden afgeleid en kan men zich opnieuw gaan afvragen
hoe deze materialen zich gedragen in een scala van stromingen. De basis-
vergelijkingen kunnen nu essentieel ander gedrag vertonen in diverse gebieden
van een stroming. Dit vormt een belangrijke uitdaging voor de ontwikkeling
van numerieke methodes voor de simulatie van deze materialen.
Toepassingen zijn er te over in de chemische industrie, in de verwerking van
voedsel en in de farmaceutische industrie.
In déze voorbeelden is het materiaal complexer gemaakt en daaraan kan com-
plexer gedrag worden ontleend. Intrigerender is het wanneer men complex
070213 Oratieboekje Geurts 27-02-2007 16:23 Pagina 24
gedrag kan waarnemen op basis van eenvoudige uitgangspunten. Dat kan bij-
voorbeeld ontstaan wanneer men in een waterige vloeistof inwendige randen
met hun eigen fysische wetten aanbrengt. Een mooi voorbeeld zijn zogenaam-
de vesicles kleine druppels in water. Wanneer men zo'n druppel met rust
laat dan zal hij een bolvorm aannemen. Dit is het resultaat van de oppervlak-
tespanning die aan de rand van de druppel heerst. Anders gezegd, de opper-
vlaktespanning zorgt ervoor dat individuele vesicles zich wat verzetten tegen
vervorming. Bovendien zal bij hoge vesicleconcentratie de omstroming van
het ene vesicle een invloed hebben op de omstroming van het andere vesicle.
Dit staat bekend als hydrodynamische interactie die ook nog op vrij grote
afstanden werkzaam is.
Het toevoegen van druppels, dus van inwendige randen of `interfaces' kan
aanleiding zijn voor interne ordening en collectief gedrag in reactie op een
externe stroming. Deze zelforganiserende microstructuur is mooi waar te
nemen in figuur 10, dat voortbouwt op werk dat ik met Matthijs Toose heb
24
t1 t2
Figuur 10: Zelforganiserende microstructuur in complexe vloeistoffen.
Deze structurering heeft een directe invloed op de macroscopische
eigenschappen van de vloeistof onder allerlei stromingscondities.
De aanvankelijk bolvormige druppels (tijdstip t1) worden aan een
afschuifstroming onderworpen waarbij de stroming in het onderste
Wiskunde in het groot en in het klein (zwarte) deel naar links is en in het bovenste deel naar rechts. Na korte
tijd zijn druppeldeformatie en ordening over wat langere afstanden goed
te zien in de opname op tijdstip t2. Deze ordening vertoont enige
gelijkenis met structurering in bloed zoals te zien is in het meest
rechtse figuur.
070213 Oratieboekje Geurts 27-02-2007 16:23 Pagina 25
kunnen doen. De diverse vesicles zijn vervormd en niet langer bolletjes.
Bovendien vindt er een dynamische groepering plaats waarin vesicles een
rijtje vormen en zo in elkaars zog wat kunnen `schuilen' tegen de krachten ten
gevolge van de stroming. In totaal vertoont dit systeem shear-thinning gedrag.
Dit is een mooi voorbeeld van een systeem waarvan de modellering Newtons
begint en het gedrag niet-Newtons eindigt enkel door de toevoeging van
oppervlaktespanning en de optredende dynamische zelforganisatie.
Figuur 11: Manipulatie van kleine druppels: opbreken, transport, vervorming en
samenvloeien zijn centrale stappen om tot geschikte lab-on-a-chip 25
toepassingen te komen (deas.harvard.edu). Wiskunde in het groot en in het klein
We kunnen het systeem verder verkleinen en niet meer kijken naar de inter-
actie tussen een aantal druppels in water, maar naar de stroming in de drup-
pels zelf. Bij het manipuleren van kleine druppels speelt het vormen en ver-
vormen, het transporteren ervan en het laten samenvloeien of opbreken een
centrale rol. In figuur 11 is een voorbeeld van het opbreken in kleinere drup-
pels en de daaropvolgende vervorming te zien. Dergelijke druppels kunnen
worden gebruikt om biologische cellen in te kapselen en vervolgens hun reac-
tie op mechanische belasting te onderzoeken.Het is ook mogelijk om druppels
met een complexe inwendige structuur te maken, bijvoorbeeld door een
gelaagde `schil' aan te brengen. Dit type druppels zou in de toekomst kunnen
worden ingezet om op een gecontroleerde manier en zeer lokaal medicijnen
toe te dienen. Het is dan des te meer van belang om een goed inzicht te heb-
ben in de mechanische eigenschappen van deze druppels. Hiervoor kunnen
nauwkeurige computermodellen uitkomst bieden.
070213 Oratieboekje Geurts 27-02-2007 16:23 Pagina 26
Het mengen van vloeistoffen in zeer kleine druppels staat sterk in de belang-
stelling vanwege zogenaamde lab-on-a-chip toepassingen. Hierbij worden
diverse chemische processtappen op een chip van slechts enkele millimeters
geconcentreerd. Dit heeft allerlei biomedische toepassingen waarbij men
uiterst kleine hoeveelheden complexe vloeistof wil analyseren of synthetise-
ren. Daarbij zijn diverse processtappen noodzakelijk die op microscopische
schaal plaatsvinden. Menging is één van die processtappen. Zonder ingrijpen
zou deze menging alleen via diffusie kunnen verlopen en erg langzaam zijn.
Op deze kleine schalen kan men echter een druppel tot op zekere hoogte `kne-
den' en daarmee het mengproces aanzienlijk bespoedigen. Elegante experi-
menten waarbij het electrowetting mechanisme wordt gebruikt voor dit
`kneedproces' worden hier in Twente uitgevoerd in de groep van Frieder
Mugele. Dit biedt unieke mogelijkheden voor een nauwkeurige validatie van
een numerieke simulatiemethodiek gebaseerd op Stokes stroming.
Omgekeerd kan numerieke simulatie een essentiële bijdrage leveren aan
het begrijpen en optimaliseren van diverse processtappen in dit type micro-
fluidicsproblemen.
Wat zouden we tegen kunnen komen als we nog verder zouden afdalen in
lengteschaal en ons systeem serieus veel kleiner zouden maken? Daarmee
26 verlaten we het terrein van de microfluidics en komen in het gebied van de
nanofluidics. Bijna geen vloeistof zal dan bijna niet stromen. Is daar nog wat
te beleven voor een toegepast wiskundige? Mijn persoonlijke antwoord is `ja',
de uitdagingen waar men dan voor gesteld staat hangen samen met de gren-
zen aan continuüm modellen. Bij het verder en verder verkleinen van de sys-
temen zal men eerst merken dat de Navier-Stokes vergelijkingen geen goede
beschrijving meer geven, vervolgens zal men tegen de grenzen van de statis-
tische beschrijving aanlopen die gebaseerd is op de Boltzmann vergelijking en
tenslotte zal men geconfronteerd worden met het deeltjeskarakter van de
vloeistof waarvoor moleculaire dynamica kan worden ingezet. Op de kleinste
schalen zal men mogelijk moeten uitwijken naar quantum-fluid-dynamics.
Dit is een voorbeeld van een multiscale aanpak voor minuscule systemen
Wiskunde in het groot en in het klein waar een toegepast wiskundige veel plezier aan kan beleven, maar die ook
nauw aansluit bij moderne natuurkunde en scheikunde. De grenzen tussen
deze disciplines vervagen dan en wat overblijft is een mooi onderwerp voor
wetenschappelijk onderzoek, zonder het keurslijf van een disciplinelabel.
070213 Oratieboekje Geurts 27-02-2007 16:23 Pagina 27
Wiskunde, biologie en geneeskunde
Voor mij ligt de ultieme toepassing van stromingsmechanica van kleine sys-
temen in de biologie en de geneeskunde. Veel levensprocessen vinden plaats
bij laag Reynolds getal, in situaties met een uitgesproken inwendige structu-
rering. Het begrijpen waarom nou net die éne structuur zich vormt en hoe die
reageert op veranderende omstandigheden en prikkels is een boeiend terrein.
Ook hier kan een wiskundige grondslag, bijvoorbeeld in de vorm van model-
lering die uitgaat van een geschikt variatieprincipe, vruchtbaar zijn. Zo'n aan-
pak kan orde scheppen in deze zeer complexe materie en ondersteuning bie-
den bij de interpretatie van waargenomen gedrag.
Ik verwacht dat deze studie ook van waarde zal zijn om problemen met self-
assembly in nanotechnologie beter te begrijpen. De befaamde `nanorobots' die
sommigen al hebben voorspeld en fantastische eigenschappen hebben toege-
dicht kun je namelijk niet met schroevendraaier en tang in elkaar zetten.
Ze dienen zichzelf te bouwen, in zekere zin `spontaan' te ontstaan, mits wij
maar de correcte omstandigheden creëren. Een prachtig voorbeeld van een
zichzelf samenstellend systeem is zeer dichtbij we zijn het zelf. We kunnen
`spieken bij de natuur' om slimme technologische miniaturisaties te ont-
wikkelen. 27
Wiskunde in het groot en in het klein
Veel toepassingen van stromingsleer richten zich op de stroming van bloed,
met name in het hart en de grotere lichaamsslagaderen, zoals de aorta.
Ingewikkelde rekenmodellen zijn gemaakt om de stroming door gezonde
maar ook door zieke aderen te begrijpen. Dit heeft sterk bijgedragen aan de
ontwikkeling van kunstmatige hartkleppen en aortakleppen. Langzamerhand
worden numerieke simulaties ook gebruikt om het gevaar van scheuren van
de aortawand te voorspellen en misschien in de toekomst patiëntspecifieke
ondersteuning van chirurgische ingrepen mogelijk te maken.
Ik wil me vooral richten op zogenaamde aneurysmes die zich in de hersenen
kunnen vormen.Door een zwakke plek in een aderwand kan de wand zich uit-
stulpen en een slecht doorbloede holte vormen. Deze zijn vaak niet veel gro-
ter dan enkele millimeters. Zo'n aneurysme is in figuur 12 weergegeven. De
ader kan kapot gaan op deze plekken wat de patiënt serieus kan beschadigen
en tot levensbedreigende situaties kan leiden. Operatieve ingrepen zijn moge-
lijk maar risicovol. Eén van de oplossingen bestaat er uit dat een chirurg een
flexibele draad in het aneurysme weet te manoeuvreren. Daartoe dient een
070213 Oratieboekje Geurts 27-02-2007 16:23 Pagina 28
(a) (b)
(c) (d)
28
Figuur 12: Aneurysme in een bloedvat in de hersenen voor (a) en na (b) behande-
ling via inbrengen van een flexibele platina draad. Angiogrammen voor
(c) en na (d) behandeling illustreren dit principe in een praktijksituatie.
Het aneurysme is de donkere `blob' op het beeld - nadat het aneurysme
gevuld is met de draad kan bloed er niet meer instromen
(http://www.brainaneurysm.com/).
lange draad via een ader naar de gewenste plek in de hersenen te worden
gebracht en vervolgens een flexibel deel van deze draad als `opvulling' in het
Wiskunde in het groot en in het klein aneurysme te worden `opgevouwen'. Na het inbrengen van zo'n `coil' wordt de
stroom van bloed door het aneurysme onmogelijk. Op termijn kan het
lichaam zichzelf verder repareren waarmee het gevaar weg is.
070213 Oratieboekje Geurts 27-02-2007 16:23 Pagina 29
Dit is de mooie variant van het verhaal. Echter, het inbrengen van zo'n draad
op een toch al zwakke plek kan er toe leiden dat juist dán de ader scheurt en
er een bloeding optreedt. Bovendien kunnen mensen jarenlang zonder proble-
men met meerdere zwakke plekken in hun bloedvatenstelsel leven. De kunst
is om te weten wanneer in te grijpen en hoe dat dan te doen. Dit is een com-
plex terrein waar de inzet van simulatiemethodieken heel vruchtbaar kan
zijn. In combinatie met moderne visualisatietechnieken kunnen daarmee de
gewenste patiëntspecifieke voorspellingen mogelijk worden. In Twente wordt
hier in de groep van Kees Slump aan gewerkt. Voor iemand als ik die alleen
met de modellering bezig is geeft dit unieke kansen op een grondige validatie
van de rekenmodellen.
Diverse stappen in het operatieve proces kunnen nader in kaart worden
gebracht. Een voorbeeld is de modellering van het inbrengen van de flexibele
draad. Dit is een `oefening' in Stokes stroming én in het modelleren van de
interactie tussen de stroming en de beweeglijke draad. Behalve voor de opti-
malisatie van procedures en materialen kan dit op termijn dienen als een
soort `flight simulator' voor een chirurg en behulpzaam zijn bij de opleiding en
training. Goede mogelijkheden zijn er ook om het `zelfreparerende' proces na
inbrengen van een `coil' te modelleren en zo te kunnen bepalen hoeveel van
die risicovolle operatiestappen minimaal nodig zijn om goede langetermijn 29
prognoses te kunnen realiseren. Wiskunde in het groot en in het klein
Als we ook hier weer afdalen in lengteschalen dan komen we al snel tot een
natuurlijke bouwsteen in de vorm van een enkele biologische cel. De nume-
rieke modellering van de basisprocessen die centraal staan bij het functione-
ren van deze bouwsteen, en hun onderlinge beïnvloedingen is een uitdaging
die minstens zo groot is als het in kaart brengen van het menselijk genoom
enkele jaren geleden was. Dit is een onderdeel van Computational Life
Sciences. Ik zou me willen richten op het effect van mechanische en chemi-
sche belasting van individuele cellen of van tissue fragmenten. Hiermee zou
een beter inzicht kunnen worden bereikt in tissue engineering en in cellulai-
re interacties en signalering. Op basis van computermodellen zou men een
virtuele cel kunnen bouwen en de effecten van bepaalde medicijnen kunnen
nabootsen. Dit is voor een deel toekomstmuziek, maar wel van een soort dat
tamelijk precies in het verlengde ligt van mijn eerdere onderzoek. Mensen die
mij al langer kennen weten dat daarmee op onverwachte manier en met een
vertraging van zo'n 25 jaar een deel van mijn cirkel rond is.
070213 Oratieboekje Geurts 27-02-2007 16:23 Pagina 30
Bouwen en doorgeven
Uit mijn verhaal tot nu toe zal het u duidelijk zijn geworden dat mijn eerste
liefde bij wetenschappelijk onderzoek ligt. Echter, om boven het niveau van
het zoveelste artikel, of de zoveelste voordracht uit te kunnen stijgen zijn
andere dingen nodig. Het doorgeven van wetenschappelijke kennis en fasci-
natie voor onderzoek reken ik meer en meer tot mijn taak.
Ik heb het geluk gehad om al met veel promovendi en postdocs samen te heb-
ben gewerkt.Dat is een prachtige mix van professionaliteit en persoonlijk con-
tact waar ik veel energie in stop, maar ook veel energie van terugkrijg. Ieder
van deze samenwerkingen heeft zijn eigen dynamiek, die van een relatie van
`leraar-leerling' evolueert tot één van samenwerkende collega's. Een volgende
stap in dit spel is het bouwen van samenwerkingsverbanden. Dat is vaak een
interessant en op zijn minst niet-lineair proces waar niet alles plezierig is
maar wel leerzaam. Ik probeer mijn bijdrage te leveren door mee te helpen bij
de organisatie van workshops en cursussen, of bij het opzetten van onder-
zoeksnetwerken binnen Nederland of in Europa. Voorbeelden waar ik bij
betrokken ben zijn het platform voor geophysical en environmental fluid
mechanics en de Europese COST Actie op het gebied van large-eddy simulatie.
30 Dat worden hopelijk mooie katalysatoren voor succesvol wetenschappelijk
onderzoek dat boven losse projecten uitstijgt. Alleen door voldoende omvang
te krijgen kan dit soort onderzoek een echte invulling geven aan zijn maat-
schappelijke rol.
Een minstens zo mooie maar ook wat problematische manier om gevoel en
liefde voor wetenschap over te brengen is via onderwijs. Inspireren van stu-
denten zou mooi zijn. De praktijk is echter vaak anders in het wiskunde-
onderwijs; veelal beperkt het zich tot het aanleren van een collectie vaardig-
heden. Die komen vaak pas tot leven in de juiste samenhang, maar dat aspect
is moeilijk te realiseren in de vorm van service-onderwijs, meestal aan niet-
wiskunde studenten. Het punt waarop liefde voor exacte vakken als wiskun-
Wiskunde in het groot en in het klein de zou moeten worden aangewakkerd zou veel eerder moeten liggen - op de
middelbare scholen en in het basisonderwijs. Daartoe moeten we wel eerst de
leraren zelf meekrijgen. Omdat `goed voorgaan goed doet volgen' zou ik willen
pleiten voor innigere contacten tussen middelbare scholen en universiteiten.
Ook richting basisonderwijs zijn er goede mogelijkheden, bijvoorbeeld in de
vorm van speciale programma's voor talentvolle leerlingen.
070213 Oratieboekje Geurts 27-02-2007 16:23 Pagina 31
Het problematische hangt voor een deel samen met het imago dat wiskunde
en wiskundigen hebben in Nederland. Ik hoef daar niet veel van te zeggen - óf
u bent het eens met de bewering dat wiskunde moeilijk, een beetje raar en
eigenlijk niet zo heel belangrijk is, óf u bent een collega die weet dat toegepas-
te wiskunde een heel mooi en praktisch vak is, gericht op het vinden, beschrij-
ven, bestuderen en benutten van `de rode draad' in allerlei problemen.
Dat problematische imago levert een landelijk beeld op van zeer geringe stu-
dentenaantallen en daarmee kwetsbare opleidingen. Er zijn echter genoeg
manieren om toegepaste wiskunde te bedrijven door actieve vervlechting met
andere disciplines. Dat doet niets af aan het eigene van toegepaste
wiskunde - het is alleen een andere werkwijze. Ik ben er van overtuigd dat
wiskunde op deze manier uitgedragen zich moeiteloos staande kan houden,
omdat de combinatie van wiskundige abstractie en wiskundige vingervlug-
heid onmisbaar is bij vrijwel elk facet van vrijwel elk wetenschappelijk onder-
zoek en vrijwel elke voortgezette opleiding.
Tenslotte, de Nederlandse politiek zou er goed aan doen om meer in te zetten
op een continu lerende samenleving. In een land als Nederland zijn mensen
het enige echte kapitaal. Die moeten zich in vrijheid kunnen ontwikkelen,
waarbij iedereen gestimuleerd zou moeten worden om zijn of haar maximale
bijdrage te leveren. Dat is woekeren met talenten - niet alleen een noodzaak 31
maar ook socialer op langere termijn. Wiskunde in het groot en in het klein
070213 Oratieboekje Geurts 27-02-2007 16:23 Pagina 32
Dankwoord
Ik wil mijn oratie graag afsluiten door een aantal mensen en instellingen apart
te noemen en te bedanken.Allereerst dank ik het College van Bestuur voor het
in mij gestelde vertrouwen.
Geachte collega's van de Twentse instituten IMPACT en BMTI, en van de Universiteit
Eindhoven;
Ik hoop onze samenwerkingen voort te zetten en nieuwe relaties op te bouwen.
Ik zie onze gezamenlijke ontdekkingstochten met plezier tegemoet en hoop
nog vaak de diverse grenzen tussen faculteiten, onderzoeksgebieden en insti-
tuten over te steken.
Beste wiskunde en natuurkunde collega's in Twente en Eindhoven,
Ik realiseer me dat mijn expliciete keuze om mijn werk te concentreren op het
raakvlak van de Natuurkunde en de Toegepaste Wiskunde, mij wat `verdacht'
maakt vanuit beider perspectief. Ik beken echter wel degelijk kleur voor mooie
wetenschap en samenwerking over deze disciplinegrenzen heen. Het exacte
32 label dat mijn werk dan krijgt vind ik van ondergeschikt belang. Ik wil jullie
allen bedanken voor de open samenwerkingen die zijn ontstaan en hoop die
verder vorm te kunnen geven in onderzoek en onderwijs.
Zeergeleerde Streng, zeergeleerde Van Damme,
Beste Martin, beste Ruud, we zijn gedrieën aan een avontuur begonnen met
Bubbling Minds om invulling te geven aan Applied Scientific Computing in
zijn breedste zin. Vele aspecten van het interface tussen universiteiten en
hightech industrie ben ik voor het eerst aan het ontdekken en ik wil deze
spannende tocht graag met jullie verder ondernemen.
Wiskunde in het groot en in het klein Hooggeleerde Van der Vegt,
Beste Jaap, ik wil je graag bedanken voor de ruimte die je me hebt gegeven om
in Twente mijn werk verder te ontwikkelen. Ik hoop dat we nog regelmatig tot
elkaars steun kunnen zijn. De rol van wiskunde en wiskundigen in Twente
wordt op nieuwe wijzen uitgedaagd - graag probeer ik daar samen een profes-
sioneel antwoord op te geven.
070213 Oratieboekje Geurts 27-02-2007 16:23 Pagina 33
Hooggeleerde Van Heijst, hooggeleerde Clercx, hooggeleerde Van de Water
Beste GertJan, beste Herman, beste Willem, dank voor de collegiale manier
waarop jullie mij in Eindhoven hebben opgenomen. Het geeft mij een unieke
kans om invulling te geven aan mijn liefde voor mooie Natuurkunde en de
versmelting van toegepaste Wiskunde daarmee. Ik hoop dat mijn verdere bij-
drage aan het Laboratorium in Eindhoven stimulerend zal zijn in de komende
jaren.
Vader en moeder,
Ik ben jullie heel veel dank verschuldigd voor mijn onbezorgde jeugd in
Teeffelen en het grenzeloze vertrouwen dat jullie altijd in mij hadden. Jullie
komen beiden uit grote Brabantse gezinnen en hebben niet eens de kans
gehad om de lagere school af te maken. Maar jullie hebben mij de kans om te
studeren wél gegeven. Hoe anders is het daardoor voor mij verlopen. Mijn stu-
die opende een geheel andere wereld die ik alleen in kon gaan in de zekerheid
dat ik altijd op jullie kon bouwen. Jullie interesse in mijn reilen en zeilen is tot
de dag van vandaag een constante stimulans.
Tenslotte wil ik Barbara en mijn kinderen Michel en Nathalie bedanken. 33
Mijn passie voor mijn werk heeft er vaak voor gezorgd dat ik niet thuis was Wiskunde in het groot en in het klein
voor jullie; ik was of op reis of anders wel in gedachten verzonken achter mijn
laptop. Daardoor hebben jullie veel dingen al vroeg zelf moeten oppakken en
heb ik jullie niet altijd kunnen steunen. De laatste tijd hebben we gelukkig ook
de kans gehad om samen wat vaker op reis te gaan. We praten nog regelma-
tig, en met plezier over ons verblijf in London of in Brussel van de afgelopen
jaren. Dat heeft niet alleen mijn wereld verbreed maar was ook een mooie
kans om samen dingen te ondernemen. Michel en Nathalie, ik hoop dat de
balans positief zal blijken en dat het zal helpen in jullie toekomstige keuzes.
Barbara, ik hoop dat we nog vaak een reis delen zodat mijn wereld ook onze
wereld kan blijven.
Hartelijk dank voor uw aandacht. Ik heb gezegd.
070213 Oratieboekje Geurts 27-02-2007 16:23 Pagina 34
34
Wiskunde in het groot en in het klein
070213 Oratieboekje Geurts 27-02-2007 16:23 Pagina 35
070213 Oratieboekje Geurts 27-02-2007 16:23 Pagina 36
Universiteit Twente