Radboud Universiteit Nijmegen
Nijmeegs wiskundige lost eeuwenoud Franklin-mysterie op
Arno van den Essen presenteert een elegante oplossing voor het
Franklin-mysterie in zijn 12 september verschenen populair
wetenschappelijke boek Magische Vierkanten: van Lo Shu tot Sudoku. Van
den Essen heeft daarmee een wiskundige primeur. Wellicht maakte
Benjamin Franklin gebruik van deze methode om zijn supermagische
vierkanten te maken. In 1737 contrueerde Benjamin Franklin het
volgende getallenvierkant:
franklingroot.gif (5 Kb)
Het is ook te zien (voor wie goede ogen of een loep heeft) op een van
de herdenkingszegels die US Postal dit jaar uitgaf ter gelegenheid van
de driehonderdste geboortedag van de legendarische en veelzijdige
Amerikaan.
herdenkingszegels.jpg (53 Kb)
Het is een zogenaamd magisch vierkant, maar wel een heel bijzonder.
Supermagisch. Sinds het voorbeeld van Franklin zijn er nog maar een
paar andere gevonden, tot een Canadees team begin dit jaar met brute
computerrekenkracht alle 8x8-varianten selecteerden. Hun werk, dat in
Canada de voorpagina's haalde, verklaart echter niet hoe Benjamin
Franklin het in korte tijd met slechts potlood en papier voor elkaar
kreeg. Maar nu heeft Arno van den Essen, wiskundige van het Institute
for Mathematics, Astrophysics and Particle Physics van de Radboud
Universiteit Nijmegen een eenvoudige methode gevonden om 8x8- en zelfs
16x16-supermagische vierkanten te maken. Ook dat kon Franklin - en
kennelijk beschikte ook hij over een simpele methode. Uitgedaagd door
de wiskundige James Logan maakte hij in één avond een16x16 vierkant
bestaande uit de getallen 1,2,3,...,256 met dezelfde magische
eigenschappen.
Supermagie
Bij een `gewoon' 8x8 magisch vierkant, bestaande uit de getallen
1,2,3,...,63,64, is de som van alle getallen in iedere rij en iedere
kolom gelijk aan 260. Bovendien is ook de som van alle getallen op
ieder van de twee diagonalen gelijk aan 260. Franklins vierkant is
echter magischer: de som van alle getallen in iedere halve rij of
kolom (van de rand af gerekend) is gelijk aan 130 (en dus is de som
van alle getallen in iedere rij of kolom gelijk aan 2x130=260.) Het
vierkant voldoet niet aan de twee diagonaaleisen, echter in plaats
daarvan geldt het volgende: ieder van de vier `gebroken' diagonalen,
zoals die gevormd door de getallen 52,3,5,54,10,57,63,16 en
bijvoorbeeld die gevormd door de getallen 16,63,57,10,23,40,34,17
heeft als som 260. Maar er is meer: ook alle parallelle gebogen
diagonalen, zoals die gevormd door de getallen 61,62,12,43,23,56,2,1
enzovoorts hebben als som 260. Maar nog is niet alle magie beschreven:
ook hebben alle 2x2-deelvierkanten de eigenschap dat de som van hun
getallen gelijk is aan 130.
Zelf doen
In het nu verschenen boek `Magische Vierkanten: van Lo Shu tot Sudoku'
legt Van den Essen begrijpelijk uit hoe bovenstaand 8x8-vierkant en
ook het grotere 16x16-vierkant gemaakt kunnen worden.De vraag blijft
natuurlijk of Franklin ook deze methode gebruikt heeft.